Jak wskazuje tytuł, książka ta nie pretenduje do roli podręcznika geometrii, może jednak stanowić pomoc dla studiujących matematykę na Wydziale Nauczycielskim, a także dla nauczycieli matematyki.
W tym momencie pojawia się pierwszy problem: od wielu lat obserwuje się w nauczaniu szkolnym szkodliwy trend usuwania nauczania geometrii na plan dalszy.
Autor jest zwolennikiem poglądu (głoszonego przez wybitnych matematyków), że właśnie geometria stanowi fundament większości dyscyplin matematycznych. Nie sposób na przykład zgłębiać tajników analizy matematycznej bez tak podstawowych pojęć, jak mierzenie długości, pól czy objętości, bez pojęcia stycznej do krzywej, czy wypukłości figur. Można pytać ze zdziwieniem, dlaczego kolejne roczniki absolwentów szkół średnich mają na przykład problem ze zdefiniowaniem stycznej do krzywej ?
Niemniej ważnym celem niniejszej publikacji jest ukazanie głębokich, organicznych wręcz, związków geometrii z algebrą. Trzeba stwierdzić wyraźnie, że uprawianie jednej z tych dyscyplin nie jest możliwe bez dostrzeżenia między nimi symbiotycznego związku.
Dla przykładu zapytajmy jeszcze: co wspólnego może mieć geometria np, z rachunkiem prawdopodobieństwa? Pomińmy geometryczną definicję prawdopodobieństwa i rozważmy elementarny przykład: sześcian, którego wszystkie ściany pomalowano jednym kolorem, został rozpiłowany na 125 małych sześcianów, które następnie wymieszano i wylosowano jeden. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowany sześcian będzie miał dwie ściany pomalowane ?
Jaka jest w tym zadaniu proporcja między jego częścią probabilistyczną i geometryczną ? Aptekarski rachunek nie wchodzi w grę, ale widać pobieżnie, że jest tu ok. 1% rachunku prawdopodobieństwa. Reszta to geometria itd. Ad.
Zanim pojawi się wniosek, przytoczmy ciekawy przykład ?z życia", który zaświadczy o pozytywnych skutkach wrażliwości matematycznej. Znakomity aktor scen polskich, Pan prof. Zbigniew Zapasiewicz wykazywał w latach szkolnych duże zainteresowanie matematyką. Został nawet laureatem olimpiady matematycznej. Nie przeszkodziło to wybitnemu artyście w osiąganiu sukcesów na scenach czołowych teatrów w kraju.
Jakiż wniosek płynie w tych uwag ?
Niewątpliwie najbardziej pożądanym skutkiem solidnej edukacji matematycznej jest osiągnięcie zdolności do myślenia. W podobnej relacji ma się geometria do innych działów matematyki: miłość do geometrii warunkuje rzetelne, sprawne i eleganckie panowanie na falami matematycznego oceanu.
Spis treści:
UWAGI WSTĘPNE
1. Cel publikacji
2. Kilka truizmów
3. Podziękowania
I. GEOMETRIA ELEMENTARNA
A. PLANIMETRIA
I.A.1. Informacje wstępne o trójkącie
I.A.2. Pole trójkąta (8 wzorów)
I.A.3. Informacje o czworokącie i jego związkach z okręgiem
I.A.4. Zagadnienia związane z okręgiem
I.A.5. Twierdzenie Pitagorasa, twierdzenie odwrotne i inne związki miarowe w trójkącie prostokątnym
I.A.6. Twierdzenie Talesa
I.A.7. Podobieństwo
I.A.8. Konstrukcje odcinków według wzorów na ich długości
I.A.9. Konstrukcje z elementami niedostępnymi
B. STEREOMETRIA
I.B.1. Uwagi wstępne
I.B.2. Ważniejsze definicje i twierdzenia stereometrii
I.B.3. Przekroje wielościanów płaszczyznami
I.B.4. Przykłady rachunkowe
II. ELEMENTY ALGEBRY
II 1. Co to jest konstrukcja klasyczna ?
II.2. Warunki wykonalności konstrukcji środkami (k)
II.2.1. O ciałach liczbowych
II.2.2. Uwagi o pierwiastkach równań stopnia pierwszego, drugiego i trzeciego
II.2.3. Uwagi o liczbach algebraicznych i przestępnych
II.2.4. O równaniach prostej i okręgu
II.2.5. O wykonalności i niewykonalności konstrukcji środkami (k)
II.3. Wielomiany i rownania symetryczne
II.4. Wzory Viete'a
III. NIEWYKONALNOŚĆ ŚRODKAMI (k) NIEKTÓRYCH KONSTRUKCJI
III.1. Uwagi ogólne
III.2. Trysekcja kąta
III.3. Podwojenie sześcianu
III.4. Rektyfikacja okręgu i kwadratura koła
III.5. Niekonstruowalność boku siedmiokąta foremnego
IV. KONSTRUKCJE PLATOŃSKIE, CZYLI WYKONALNE ŚRODKAMI (k)
IV. 1. ?Złoty" podział
IV.2. Bok 10-kąta foremnego, wpisanego w okrąg o promieniu r
IV.3. Bok 5-kąta foremnego, wpisanego w okrąg o promieniu r
IV.4. Twierdzenie Gaussa
IV.5. Konstrukcja siedemnastokąta foremnego, wpisanego w okrąg jednostkowy
IV.6. Konstrukcja Euklidesa 15-kąta foremnego
IV.7. Zagadnienie Apoloniusza
V. KONSTRUKCJE NIEKLASYCZNE
V.1. Przykłady krzywych stopnia n > 3 oraz krzywych przestępnych. Zastosowania
V.2. Przykłady konstrukcji wykonywanych różnymi środkami
V.3. Konstrukcje przybliżone
V.4. Trysektory
VI. ELEMENTY RZUTÓW MONGE'A
VI. 1. Wstęp
VI. 1.1. Przedmiot i cel geometrii wykreślnej
VI .1.2. Rzut równoległy i jego niezmienniki
VI. 1.3. Układ odniesienia
VI.2. Odwzorowanie elementów podstawowych
VI.2.1. Odwzorowanie punktu
VI.2.2. Odwzorowanie prostej
VI.2.3. Odwzorowanie płaszczyzny
VI.3. Relacja przynależności elementów
VI.3.1. Punkt i prosta przynależne do siebie
VI.3.2. Prosta i płaszczyzna przynależne do siebie
VI.3.2. Punkt i płaszczyzna przynależne do siebie
VI.4. Elementy wspólne tworów geometrycznych
VI.4.1. Punkt wspólny dwóch prostych
VI.4.2. Krawędź dwóch płaszczyzn
VI.4.3. Punkt przebicia płaszczyzny prostą
VI.5. Równoległość i prostopadłość elementów
VI.5.1. Dwie proste równoległe; równoległość prostej i płaszczyzny
VI.5.2. Dwie płaszczyzny równoległe do siebie
VI.5.3. Para prostych prostopadłych do siebie
VI.5.4. Prosta i płaszczyzna prostopadłe do siebie
VI.5.5. Para płaszczyzn prostopadłych do siebie
VI.6. Obroty i kłady
VI.6.1. Obrót wokół osi prostopadłej do jednej z rzutni
VI.6.2. Kład płaszczyzny rzutującej. Przekształcenie odwrotne - podniesienie z kładu
VI.6.3. Obrót dookoła osi równoległej do rzutni (w szczególności leżącej na rzutni)
VI.6.4. Kład i podniesienie z kładu płaszczyzny w położeniu ogólnym
VI.7. Transformacja układu odniesienia
VI.7.1. Wprowadzenie nowej rzutni Pi3 prostopadłej do Pi1, lub do Pi2
VI.7.2. Rzut boczny
VI.8. Wielościany
VI.8.1. Rzuty wielościanów
VI.8.2. Przekroje wielościanów płaszczyznami
VI.8.3. Rozwinięcie powierzchni wielościanów
VI.8.4. Punkty przebicia wielościanu prostą
VI.8.5. Przenikanie wielościanów
VII. SPOJRZENIE NA HISTORIĘ MATEMATYKI W POLSCE (Od czasów najdawniejszych do II wojny światowej)
UWAGI KOŃCOWE
LITERATURA
|
