Niniejszy podręcznik jest drugim – zmienionym – wydaniem podręcznika wydanego przez autorów w roku 1999. Zupełnie nowym elementem tego wydania są programy do przykładów i zadań, które wymagają użycia komputera. Powstały one w odpowiedzi na wielokrotne wyrażane zapotrzebowanie studentów, którzy – jak pokazuje doświadczenie dydaktyczne – najszybciej uczą się sztuki programowania przez wzorowanie się na dobrych przykładach.

Pierwsze wydanie tego podręcznika opracowane zostało z myślą o studentach Wydziału Elektroniki i Techniki Informacyjnych Politechniki Warszawskiej – studiujących według, wprowadzonego w połowie lat dziewięćdziesiątych ubiegłego wieku, programu ośmiosemestralnych studiów pierwszego stopnia na makrokierunku elektronika i techniki informacyjne. Przez wiele lat stanowiło podstawowy materiał dydaktyczny do przedmiotu „wstęp do metod numerycznych”, prowadzonego dla studentów trzeciego semestru w wymiarze dwóch godzin wykładu i jednej godziny ćwiczeń laboratoryjnych tygodniowo. W związku ze skróceniem cyklu studiów do siedmiu semestrów, a także z obniżeniem się ogólnego poziomu przygotowania studentów w zakresie matematyki, program tego przedmiotu uległ ostatnio istotnemu zubożeniu. Ewolucja podręcznika poszła jednak w przeciwnym kierunku: został on istotnie wzbogacony. Jego drugie wydanie zostało zredagowane w taki sposób, aby mogło być wyczerpującym materiałem dydaktycznym do przedmiotu „wstęp do metod numerycznych”, a jednocześnie służyć, jako materiał pomocniczy, słuchaczom bardziej zaawansowanych przedmiotów dotyczących metod numerycznych.

Głównym celem przedmiotu „wstęp do metod numerycznych” jest zapoznanie studentów z metodyką systematycznego badania przydatności algorytmów numerycznych do rozwiązywania zadań inżynierskich oraz z wybranymi algorytmami numerycznymi. Do pełnego zrozumienia wykładu wymagana jest znajomość matematyki w zakresie pierwszego roku studiów technicznych oraz elementów teorii obwodów elektrycznych. Program zajęć laboratoryjnych zakłada natomiast umiejętność programowania w języku środowiska MATLAB. Podczas tych zajęć bowiem studenci opracowują, uruchamiają i badają proste programy komputerowe do rozwiązywania problemów numerycznych dotyczących elektroniki, metrologii, radioelektroniki i telekomunikacji.

Koncepcja programowa i metodyczna przedmiotu „wstęp do metod numerycznych” istotnie odbiega od tradycyjnego ujęcia problematyki metod numerycznych, reprezentowanego przez wiele dostępnych na naszym rynku księgarskim podręczników z tego zakresu, zarówno tych przeznaczonych dla matematyków, jak tych adresowanych do inżynierów i adeptów nauk przyrodniczych. Koncepcja ta opiera się na następujących przesłankach:

• Powszechne użycie komputerów w projektowaniu inżynierskim, pomiarach sterowaniu oznacza konieczność zapoznania z metodami numerycznymi każdego studenta elektroniki i technik informacyjnych.
• Powszechna dostępność bibliotek oprogramowania zawierających procedury numeryczne oznacza, że maleje znaczenie umiejętności tworzenia takich procedur przez inżyniera, a rośnie znaczenie umiejętności ich systematycznego badania, oceny i adaptacji do specyficznych warunków działania.
• Dane do obliczeń technicznych pochodzą z pomiarów lub obliczeń przybliżonych, a komputer nie tylko ze skończoną dokładnością reprezentuje dane, a także zaokrągla wyniki poszczególnych operacji na tych danych; wynika stąd konieczność ciągłej kontroli dokładności prowadzonych obliczeń.

Konsekwencją powyższych konstatacji jest:

• Ograniczenie w niniejszym podręczniku formalizmu matematycznego i matematycznych ustaleń algorytmów numerycznych do minimum wyznaczonego strukturą logiczną typowych bibliotek oprogramowania numerycznego;
• Wprowadzenie metodyki analizy dokładności algorytmów numerycznych w rozdziałach 1 – 3 i szerokie jej wykorzystywanie w rozdziałach 4 – 9;
• Demonstracja zjawisk numerycznych, takich jak wzmacnianie błędów danych i błędów zaokrągleń operacji zmiennopozycyjnych, na najprostszych (np. skalarnych) wersjach podstawowych zadań numerycznych, jakie pojawiają się w dziedzinie elektroniki, metrologii i telekomunikacji;
• Dołączanie programów w języku środowiska MATLAB użytych do rozwiązania wszystkich przykładów opisanych w podręczniku i zadań do samodzielnego rozwiązania ( w dodatku i na CD).

W ogólności chodzi bowiem o to, aby z jednej strony umotywować studenta do szerokiego, ale krytycznego korzystania z procedur numerycznych zawartych w dostępnych bibliotekach oprogramowania, z drugiej zaś – wytworzyć nawyk systematycznego sprawdzanie technicznych skutków tego rodzaju działania poprzez pomiarowo – obliczeniową analizę dokładności procedur numerycznych zastosowanych do rzeczywistych danych technicznych.

Koncepcja programowa i metodyczna podręcznika wyrasta z wieloletnich doświadczeń dydaktycznych autorów w zakresie zastosowań metod i technik obliczeniowych w pracy inżyniera, Nie są to – jak się wydaje –doświadczenia specyficzne dla praktyki kształcenia studentów na Wydziale Elektroniki i Technik Informacyjnych Politechniki Warszawskiej. Podręcznik ten może być więc w całości wykorzystywany przez studentów innych uczelni kształcących w obszarze elektroniki i technik informacyjnych, a w znacznej części – przez studentów innych kierunków.

Spis treści

1. WPROWADZENIE

   1. Komputer w rozwiązywaniu zadań inżynierskich

   2. Modelowanie matematyczne jako podstawa obliczeń naukowo – technicznych

   3. Modelowanie matematyczne w pracy inżyniera

      1. Modelowanie matematyczne w projektowaniu

      2. Modelowanie matematyczne w pomiarach

      3. Zastosowania komputera do modelowania matematycznego

   4. Algorytm numeryczny i formy jego zapisu

   5. Dokładność obliczeń inżynierskich

      1. Identyfikacja problematyki

      2. Reprezentacja liczb i zaokrąglanie wyników obliczeń w komputerze

      3. Ogólny model przenoszenia błędów w algorytmie numerycznym

   6. Złożoność obliczeń inżynierskich

2. PODSTAWOWE METODY ANALIZY DOKŁADNOŚCI ALGORYTMÓW NUMERYCZNYCH

   1. Liniowy model przenoszenia błędów

   2. Przenoszenie błędów danych

      1. Współczynniki przenoszenia błędów danych

      2. Uwarunkowanie numeryczne zadania

   3. Przenoszenie błędów zaokrągleń

      1. Współczynniki przenoszenie błędu zaokrągleń

      2. Numeryczna poprawność algorytmu

   4. Analiza dokładności algorytmów za pomocą komputera

   5. Pozanumeryczne zastosowania metod analizy zaokrągleń

3. ELEMENTY ANALIZY ALGORYTMÓW ITERACYJNYCH

   1. Informacje wstępne

   2. Algorytmy iteracyjne jednoargumentowe

   3. Algorytmy iteracyjne wieloargumentowe

   4. Analiza algorytmów iteracyjnych wspomagana komputerem

   5. Pozanumeryczne zastosowania metod analizy algorytmów iteracyjnych

4. ROZWIĄZYWANIE LINIOWYCH RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH

   1. Pojęcie podstawowe

      1. Macierze

      2. Normy wektorów i macierzy

      3. Uwarunkowanie zadania rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych

   2. Metoda eliminacji Gaussa

   3. Metody iteracyjne

      1. Metoda Jacobiego

      2. Metoda Richardsona

      3. Metoda Gaussa – Seidla

      4. Metoda SOR

      5. Porównywanie zbieżności metod iteracyjnych

   4. Liniowe zadanie najmniejszych kwadratów

   5. Podsumowanie

5. ROZWIĄZYWANIE NIELINIOWYCH RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH

   1. Rozwiązywanie skalarnych równań nieliniowych

      1. Metoda bisekcji

      2. Metoda stycznych (Newtona) i metoda siecznych

      3. Metody wyznaczania zer wielomianów

   2. Rozwiązywanie układów równań nieliniowych

      1. Wielowymiarowa metoda Newtona

      2. Wielowymiarowa metoda siecznych

      3. Uwagi praktyczne

6. INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

   1. Interpretacja przy użyciu wielomianów Newtona i Lagrange’a

      1. Zależności ogólne

      2. Zależności dla węzłów równoległych

   2. Interpolacja przy użyciu wielomianowych funkcji sklejanych

   3. Interpolacja trygonometryczna

   4. Aproksymacja średniokwadratowa

      1. Aproksymacja funkcji danej w postaci analitycznej

      2. Aproksymacja funkcji na podstawie ciągu jej dyskretnych wartości

   5. Inne rodzaje aproksymacji

      1. Aproksymacja jednostajna

      2. Aproksymacja funkcjami nieliniowymi względem parametrów

7. CAŁKOWANIE I RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI METODY KLASYCZNE

   1. Całkowanie funkcji jednej zmiennej

      1. Proste kwadratury interpolacyjne Newtona – Cotesa

      2. Złożone kwadratury interpolacyjne Newtona – Cotesa

      3. Kwadratury interpolacyjne Gaussa

      4. Przyspieszanie zbieżności kwadratur metodą ekstrapolacji Richardsona

      5. Obliczanie całek z osobliwościami i całek niewłaściwych

   2. Całkowanie funkcji wielu zmiennych

   3. Różniczkowanie funkcji jednej zmiennej

      1. Formuły różnicowe

      2. Różniczkowanie formuł interpolacyjnych

      3. Zwiększanie dokładności różniczkowania metodą ekstrapolacji Richardsona

      4. Różniczkowanie formuł aproksymacji wygładzającej

8. CAŁKOWANIE FUNKCJI – METODA MONTE CARLO

   1. Wprowadzenie do metody Monte Carlo

   2. Metody estymacji wartości oczekiwanej zmiennej losowej

   3. Proste metody Monte Carlo

      1. Wariant podstawowy w wersji ogólnej

      2. Wariant podstawowy w wersji „orzeł – reszka”

   4. Złożone metody Monte Carlo

      1. Metoda losowania ważonego

      2. Metoda zmiennej kontrolnej

      3. Metoda oparta na obniżaniu krotności całki

      4. Metoda losowania warstwowego

   5. Metody generacji zmiennych losowych

      1. Generatory liczb pseudolosowych o rozkładzie równomiernym

      2. Generatory liczb pseudolosowych o zadanym rozkładzie prawdopodobieństwa

9. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH

   1. Podstawowe własności metod rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

   2. Metody jednokrokowe typu Rungego – Kutty

      1. Konstrukcja i własność metod jednokrokowych

      2. Wybór kroku całkowania

   3. Metody wielokrokowe

      1. Konstrukcja własność metod wielokrokowych

      2. Stabilność numeryczna metod wielokrokowych

      3. Schemat predyktor – korektor

      4. Wybór kroku całkowania i rzędu metody

      5. Rozwiązywanie układów równań różniczkowo - algebraicznych

DODATEK: PROGRAMY W JĘZYKU MATLAB

Programy do rozdziału 4

Programy do rozdziału 5

Programy do rozdziału 6

Programy do rozdziału 7

Programy do rozdziału 8

Programy do rozdziału 9